定义两个平面向量$\overrightarrow a$.$\overrightarrow b$的一种运算$\overrightarrow a?\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|sinθ$.θ为向量$\overrightarrow a$.$\overrightarrow b$的夹角.对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．定义两个平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的一种运算$\overrightarrow a?\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|sinθ$，θ为向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角，对于这种运算，给定以下结论：①$\overrightarrow a?\overrightarrow b=\overrightarrow b?\overrightarrow a$；②$λ（\overrightarrow a?\overrightarrow b）=（λ\overrightarrow a）?\overrightarrow b$；③$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）?\overrightarrow c=（\overrightarrow a?\overrightarrow c）+（\overrightarrow b?\overrightarrow c）$；④若$\overrightarrow a=（{x_1}，{y_1}）$，$\overrightarrow b=（{x_2}，{y_2}）$，则$\overrightarrow a?\overrightarrow b=|{{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}}|$，你认为恒成立的有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

分析 ①根据定义不难得出是正确的；
②需对参数λ进行分类讨论，再依据定义即可判断其正确性；
③取$\overrightarrow{a}$=-$\overline{b}$时直接代入定义即可验证；
④根据给出的两向量的坐标，求出对应的模，运用向量数量积公式求两向量夹角的余弦值，则正弦值可求，最后直接代入定义即可．

解答解：对于①$\overrightarrow a?\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|sinθ$=$\overline{b}$?$\overline{a}$，故恒成立，
对于②；②λ（$\overrightarrow{a}$?$\overline{b}$）=λ|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|sinθ，（λ$\overrightarrow{a}$?$\overline{b}$）=|λ$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|sinφ，（φ是λ$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角），当λ＜0时不成立，
对于③，当$\overrightarrow{a}$=-$\overline{b}$时，左边=0，右边=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|sinθ+|$\overrightarrow{c}$||$\overrightarrow{b}$|sin＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞≥0，显然不成立，
对于④，（$\overrightarrow{a}$?$\overline{b}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²|$\overrightarrow{b}$|²-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）²=（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²）（x₁x₂+y₁y₂）²=（x₁y₂-x₂y₁）²，故恒成立，
故选：B．

点评本题考查的知识点是平面向量的运算，合情推理，正确理解新定义及熟练掌握向量的运算性质是解题的关键．属于中档题．

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