Question

【题目】已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x＝－1.

(1)若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的坐标；

(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）设Q(x，y)，则(x＋1)2＝x2＋y2，又y2＝4x，解得Q；（2）设点(－1，t)的直线方程为y－t＝k(x＋1)，联立y2＝4x，则Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，则切点分别为A，B，所以A，B，F三点共线，AB过点F(1，0)。

试题解析：

(1)设Q(x，y)，则(x＋1)2＝x2＋y2，即y2＝2x＋1，

由解得Q.

(2)设过点(－1，t)的直线方程为y－t＝k(x＋1)(k≠0)，代入y2＝4x，得ky2－4y＋4t＋4k＝0，

由Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，

特别地，当t＝0时，k＝±1，切点为A(1，2)，B(1，－2)，显然AB过定点F(1，0).

一般地方程k2＋kt－1＝0有两个根，

∴k1＋k2＝－t，k1k2＝－1，

∴两切点分别为A，B，

∴＝，＝，

又－＝2＝0，

∴与共线，又与有共同的起点F，

∴A，B，F三点共线，∴AB过点F(1，0)，

综上，直线AB过定点F(1，0).