题目内容
【题目】设函数f(x)=|x+ |+|x﹣2m|(m>0). (Ⅰ)求证:f(x)≥8恒成立;
(Ⅱ)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)证明:函数f(x)=|x+ |+|x﹣2m|(m>0), ∴f(x)=|x+
|+|x﹣2m|≥|x+
﹣(x﹣2m)|=|
+2m|=
+2m≥2
=8,
当且仅当m=2时,取等号,故f(x)≥8恒成立.
(Ⅱ)f(1)=|1+ |+|1﹣2m|,当m>
时,f(1)=1+
﹣(1﹣2m),不等式即
+2m>10,
化简为m2﹣5m+4>0,求得m<1,或m>4,故此时m的范围为( ,1)∪(4,+∞).
当0<m≤ 时,f(1)=1+
+(1﹣2m)=2+
﹣2m关于变量m单调递减,
故当m= 时,f(1)取得最小值为17,
故不等式f(1)>10恒成立.
综上可得,m的范围为(0,1)∪(4,+∞)
【解析】(Ⅰ)利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f(x)≥8恒成立.(Ⅱ)当m> 时,不等式即
+2m>10,即m2﹣5m+4>0,求得m的范围.当0<m≤
时,f(1)=1+
+(1﹣2m)=2+
﹣2m关于变量m单调递减,求得f(1)的最小值为17,可得不等式f(1)>10恒成立.综合可得m的范围.
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