题目内容
【题目】如图,椭圆经过点
,离心率
,直线
的方程为
.
求椭圆
的方程;
是经过右焦点
的任一弦(不经过点
),设直线
与直线
相交于点
,记
,
,
的斜率为
,
,
.问:是否存在常数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)存在常数
符合题意.
【解析】试题分析:(1)由题意将点P (1, )代入椭圆的方程,得到
,再由离心率为e=
,将a,b用c表示出来代入方程,解得c,从而解得a,b,即可得到椭圆的标准方程;
(2)方法一:可先设出直线AB的方程为y=k(x﹣1),代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用根与系数的关系求得x1+x2=,
,再求点M的坐标,分别表示出k1,k2,k3.比较k1+k2=λk3即可求得参数的值;
方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),以之表示出直线FB的方程为,由此方程求得M的坐标,再与椭圆方程联立,求得A的坐标,由此表示出k1,k2,k3.比较k1+k2=λk3即可求得参数的值
试题解析:
由
在椭圆上得,
①
依题设知,则
②
②带入①解得,
,
.
故椭圆的方程为
.
由题意可设
的斜率为
,
则直线的方程为
③
代入椭圆方程并整理,得
,
设,
,则有
,
④
在方程③中令得,
的坐标为
.
从而,
,
.
注意到,
,
共线,则有
,即有
.
所以⑤
④代入⑤得,
又,所以
,故存在常数
符合题意.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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