题目内容
【题目】如图,椭圆经过点
,离心率
,直线
的方程为
.
求椭圆
的方程;
是经过右焦点
的任一弦(不经过点
),设直线
与直线
相交于点
,记
,
,
的斜率为
,
,
.问:是否存在常数
,使得
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)存在常数
符合题意.
【解析】试题分析:(1)根据离心率得a,b,c三者关系,再将P点坐标代入椭圆方程,解得,
.(2)先根据两点斜率公式化简
,以及
,再利用直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理化简
,最后作商得
的值
试题解析: 由
在椭圆上得,
①
依题设知,则
②
②带入①解得,
,
.
故椭圆的方程为
.
由题意可设
的斜率为
,
则直线的方程为
③
代入椭圆方程并整理,得
,
设,
,则有
,
④
在方程③中令得,
的坐标为
.
从而,
,
.
注意到,
,
共线,则有
,即有
.
所以⑤
④代入⑤得,
又,所以
,故存在常数
符合题意.
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