题目内容

11.现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘,在OA、OB上分别取点C、D,作DE∥OA、
CF∥OB交弧AB于点E、F,且BD=AC,现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成
如图所示的三种的养殖区域.若OA=1km,$∠AOB=\frac{π}{2}$,$∠EOF=θ(0<θ<\frac{π}{2})$.
(1)求区域Ⅱ的总面积;
(2)若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元,记年总收入为y万元. 试问当θ为多少时,年总收入最大?

分析 (1)根据三角形的面积公式即可求区域Ⅱ的总面积;
(2)建立三角函数关系式,求函数的导数,利用导数研究函数的最值即可.

解答 解:(1)因为BD=AC,OB=OA,所以OD=OC.
因为$∠EOF=\frac{π}{2}$,DE∥OA,CF∥OB,
所以DE⊥OB,CF⊥OA.
又因为OE=OF,所以Rt△ODE≌Rt△OCF.
所以$∠DOE=∠COF,∠COF=\frac{1}{2}(\frac{π}{2}-θ)$.  …(2分)
所以$OC=OF•cos∠COF=cos[\frac{1}{2}(\frac{π}{2}-θ)]$.
所以${S_{△COF}}=\frac{1}{2}•OC•OF•sin∠COF=\frac{1}{4}cosθ$,
所以${S_{区域II}}=\frac{1}{2}cosθ$,$(0<θ<\frac{π}{2})$. …(6分)
(2)因为${S_{区域I}}=\frac{1}{2}θ$,
所以${S_{区域III}}={S_总}-{S_{区域I}}-{S_{区域II}}=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}θ-\frac{1}{2}cosθ$.
所以$y=15×\frac{1}{2}θ+20×\frac{1}{2}cosθ+10×(\frac{π}{4}-\frac{1}{2}θ-\frac{1}{2}cosθ)$=$\frac{5}{2}π+\frac{5}{2}θ+5cosθ\;,\;(0<θ<\frac{π}{2})$,…(10分)
所以$y'=\frac{5}{2}(1-2sinθ)$,
令y'=0,则$θ=\frac{π}{6}$. …(12分)
当$0<θ<\frac{π}{6}$时,y'>0,当$\frac{π}{6}<θ<\frac{π}{2}$时,y'<0.
故当$θ=\frac{π}{6}$时,y有最大值.
答:当θ为$\frac{π}{6}$时,年总收入最大.…(15分)

点评 本题主要考查三角函数的应用问题,根据条件建立三角关系是解决本题的关键.

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