题目内容

1.侧棱长为4,底面边长为$\sqrt{3}$的正三棱柱均在同一球面上,则该球表面积为24π.

分析 根据三棱柱的底面边长及高,先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距,进而求出三棱柱外接球的球半径,代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积.

解答 解:由正三棱柱的底面边长为$\sqrt{3}$,
得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=1,
又由正三棱柱的侧棱长为4,则球心到圆O的球心距d=$\sqrt{5}$,
根据球心距,截面圆半径,球半径构成直角三角形,
满足勾股定理,我们易得球半径R满足:R2=r2+d2=6,R=$\sqrt{6}$,
∴外接球的表面积S=4πR2=24π
故答案为:24π.

点评 本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积,考查数形结合思想、化归与转化思想,其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键.

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