题目内容
【题目】已知曲线的极坐标方程为
,以极点
为原点,极轴所在直线为
轴建立直角坐标系.过点
作倾斜角为
的直线
交曲线
于
,
两点.
(1)求曲线的直角坐标方程,并写出直线
的参数方程;
(2)过点的另一条直线
与
关于直线
对称,且与曲线
交于
,
两点,求证:
.
【答案】(1),
(
为参数)(2)见解析
【解析】
(1)根据转化公式,
直接转化,并且根据公式直接写成直线
的参数方程;
(2)直线的参数方程代入(1)的曲线方程;利用
的几何意义表示
再根据对称求的参数方程,同理可得
,再证明结论.
(1)由得
,∴
为曲线
的直角坐标方程,
由作倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数).
(2)将直线的参数方程代入
的直角坐标方程
得:
,显然
,设
,
两点对应的参数分别为
,
,
则,∴
,
由于直线与
关于
对称,可设直线
的参数方程为
(
为参数)与曲线
的直角坐标方程联立同理可得:
,
∴,故
得证.
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