Question

3．设命题p：函数y=a^x（a＞0且a≠1）为减函数，命题q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根，若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题的等价条件，结合复合命题之间的关系即可得到结论．

解答 解：命题p：函数y=a^x（a＞0且a≠1）为减函数，则0＜a＜1，
命题q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根，则判别式△=1-4a≥0，即a≤$\frac{1}{4}$，
若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{4}$＜a＜1，
若q真p假，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，此时不等式无解，
综上$\frac{1}{4}$＜a＜1，即a的取值范围是（$\frac{1}{4}$，1）．

点评 本题主要考查复合命题的真假判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键．