题目内容
11.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,BA=BC=AC=2,把△BAC沿AC折起到△PAC的位置,使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,如图2所示.点E,F分别为棱PC,CD的中点.(Ⅰ)求证:平面OEF∥平面APD;
(Ⅱ)求证:CD⊥平面POF;
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点M,使得M到点P,O,C,F四点距离相等?请说明理由.
分析 (Ⅰ)证明OE∥PA,OF∥AD,利用平面与平面平行的判定定理证明平面OEF∥平面PDA.
(Ⅱ)证明OF⊥CD,PO⊥CD,利用直线与平面垂直的判定定理证明CD⊥平面POF.
(Ⅲ)存在,通过就是$EF=\frac{1}{2}PC$,$EP=EC=OE=\frac{1}{2}PC$,即可证明点M到四个点P,O,C,F的距离相等.
解答 证明:(Ⅰ)因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上
所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AC
因为AB=BC,所以O是AC中点,
所以OE∥PA,同理OF∥AD,又OE∩OF=O,PA∩AD=A
所以平面OEF∥平面PDA
(Ⅱ)因为OF∥AD,AD⊥CD,所以OF⊥CD
又PO⊥平面ADC,CD?平面ADC
所以PO⊥CD
又OF∩PO=O
所以CD⊥平面POF
(Ⅲ)存在,事实上记点E为M即可
因为CD⊥平面POF,PF?平面POF
所以CD⊥PF
又E为PC中点,所以$EF=\frac{1}{2}PC$
同理,在直角三角形POC中,$EP=EC=OE=\frac{1}{2}PC$,
所以点M到四个点P,O,C,F的距离相等.
点评 本题考查空间距离公式的应用,直线与平面垂直以及平面与平面垂直与平行的判定定理的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力.
练习册系列答案
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