题目内容
【题目】已知,函数
,
.
(1)若恒成立,求
的取值范围;
(2)证明:不论取何正值,总存在正数
,使得当
时,恒有
.
【答案】(1);(2)总存在
,使得当
时,恒有
.
【解析】【试题分析】(1)先将不等式等价转化为
,然后构造函数
,则
,运用导数知识探求其最大值,进而求出实数
的取值范围;(2)先对函数
求导,从而将问题等价转化为
,进而转化为函数的最大值
进行分析探求:
解:(1)函数,
的定义域均为
.
因为,
,所以
可化为
,
令,则
,
由得
,
所以,当,
;当
,
,
所以的单调增区间是
,单调减区间是
.
所以.
所以.
(2)(方法一):,
令,得
;令
,得
,∴
,
当,即
时,显然存在正数
满足题意,
当时,
∵在
上递减,且
,
∴必存在,
.
故存在,使得当
时,
.
(方法二):,令
,
,
所以,当,
;当
,
.
所以的单调增区间是
,单调减区间是
,
因为,所以当
,即
时,存在
,使得当
,恒有
.
即.
当时,由(1)知
,即
,
所以,
由得
,所以
,
因为,所以,根据函数的图象可知存在
,
使得当,恒有
,即
.
综上所述,总存在,使得当
时,恒有
.
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练习册系列答案
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【题目】某单位生产A、B两种产品,需要资金和场地,生产每吨A种产品和生产每吨B种产品所需资金和场地的数据如表所示:
资源 | 资金(万元) | 场地(平方米) |
A | 2 | 100 |
B | 35 | 50 |
现有资金12万元,场地400平方米,生产每吨A种产品可获利润3万元;生产每吨B种产品可获利润2万元,分别用x,y表示计划生产A、B两种产品的吨数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问A、B两种产品应各生产多少吨,才能产生最大的利润?并求出此最大利润.