题目内容
【题目】已知定义在
上的偶函数
，满足
，且在区间
上是增函数，
①函数的一个周期为4；
②直线
是函数图象的一条对称轴；
③函数在
上单调递增，在
上单调递减；
④函数在
内有25个零点；
其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）
【答案】①②④
【解析】
先求得
，由此函数的周期性.通过证明
求得函数的对称轴，根据奇偶性、周期性和单调性画出函数的图像，由此判断③④的真假.
令
得
，即
，由于函数为偶函数，故.所以
，所以函数是周期为
的周期函数，故①正确.由于函数为偶函数，故
，所以
是函数图像的一条对称轴，故②正确.根据前面的分析，结合函数在区间
上是增函数，画出函数图像如下图所示.由图可知，函数在
上单调递减，故③错误.根据图像可知，
，零点的周期为，共有
个零点，故④正确.综上所述正确的命题有①②④.
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