题目内容

已知F1，F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）若点P为双曲线与圆x2+y2=a2+b2的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）设双曲线的渐近线方程为y=±x，F2到渐近线的距离是
2
，过F2的直线交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆与y轴相切，求线段AB的长．
（Ⅰ）由题设得：
|PF1|=2|PF2|
|PF1|-|PF2|=2a
，得|PF1|=4a，|PF2|=2a，
因为点P为双曲线与圆x2+y2=a2+b2=c2的一个交点，∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，则16a2+4a2=4c2，即5a2=c2，故离心率e=
c
a
=
5
；
（Ⅱ）∵双曲线的渐近线方程为y=±x，F2到渐近线的距离是
2
，
∴
c
2
=
2
，所以c=2，又
b
a
=1，a2+b2=c2，得a=b=
2
，
所以双曲线方程为x2-y2=2，F2（2，0），e=
2
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由双曲线的焦半径公式得：|AF2|=ex1-a=
2
x1-
2
，
|BF2|=ex2-a=
2
x2-
2
，
∵以AB为直径的圆与y轴相切，∴
x1+x2
2
=
1
2
|AB|=
1
2
(|AF2|+|BF2|)．
∴x1+x2=
2
(x1+x2)-2
2
，则x1+x2=
2
2
2
-1
=4+2
2
，
所以|AB|=x1+x2=4+2
2
．
练习册系列答案
相关题目
设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）经过点P(1，
2
)，其离心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）直线l：y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，且△PAB的面积为
2
，求m的值．
椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=
2
3
，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．
已知点A（1，1）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．
已知椭圆C过点P（1，
3
2
），两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的中点的轨迹方程．
已知椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，是否存在直线l，使得OA⊥OB，O为坐标原点，若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
直线L：
x
4
+
y
3
=1与椭圆E：
x2
16
+
y2
9
=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
直线y=x+m与曲线y=
1-2x2
有两个交点，则实数m的取值范围是______．
如图，以
3
2
为离心率的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A和B，点P是椭圆位于x轴上方的一点，且△PAB的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设点Q是椭圆位于x轴下方的一点，直线AP、BQ的斜率分别为k1，k2，若k1=7k2，设△BPQ与△APQ的面积分别为S1，S2，求S1-S2的最大值．

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