题目内容

【题目】某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).

(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;

(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.

【答案】

【解析】1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为

由题设有

其中均为1200之间的正整数.3分)

2)完成订单任务的时间为

其定义域为

易知,为减函数,为增函数.

注意到于是

时, 此时

由函数的单调性知,当取得最小值,解得.

由于.

故当时完成订单任务的时间最短,且最短时间为.6分)

时, 由于为正整数,故

此时.

,易知为增函数,则

.

由函数的单调性知,当取得最小值,解得.由于

此时完成订单任务的最短时间大于.9分)

时, 由于为正整数,故

此时

由函数的单调性知,当取得最小值,解得.

类似的讨论,此时完成订单任务的最短时间为,大于.

综上所述,当时,完成订单任务的时间最短,此时,生产ABC三种部件的人数分别为44,88,68.

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