题目内容
【题目】已知有限集,如果
中元素
满足
,就称
为“复活集”.
(1)判断集合是否为“复活集”,并说明理由;
(2)若,
,且
是“复活集”,求
的取值范围;
(3)若,求证:“复活集”
有且只有一个,且
.
【答案】(1)是;理由见解析;(2);(3)见解析;
【解析】
根据已知中“复活集”的定义,结合韦达定理及反证法,进而可得答案.
(1),故集合
是 “复活集”;
(2)不妨设,
则由韦达定理知,
是一元二次方程
的两个根,
由△,可得
,或
,
或
;
(3)不妨设中
,
由,得
,当
时,
即有,
,于是
,
无解,即不存在满足条件的“复活集”
,
当时,
,故只能
,
,求得
,于是“复活集”
只有一个,为
,2,
.
当时,由
,即有
,
也就是说“复活集” 存在的必要条件是
,事实上,
,矛盾,
当
时不存在复活集
,
所以,“复活集”有且只有一个,且
.
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