题目内容
【题目】设是函数
的一个极值点.
(1)求与
的关系式(用
表示
)
(2)求的单调区间;
(3)设,若存在
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);
(2)① 当时,单调递增区间为:
;单调递减区间为:
,
;
② 当时,单调递增区间为:
;单调递减区间为:
,
;
(3).
【解析】
试题(1)解决类似的问题时,注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时,要先求函数在区间
内使
的点,再计算函数
在区间内所有使
的点和区间端点处的函数值,最后比较即得.(2)第二问关键是分离参数,把所求问题转化为求函数的最小值问题.(3)若可导函数
在指定的区间
上单调递增(减),求参数问题,可转化为
恒成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.
试题解析:(1)∵
∴
由题意得:,即
,
∴且
令得
,
∵是函数
的一个极值点.
∴,即
故
与
的关系式
(2) ① 当时,
,由
得单调递增区间为:
;
由得单调递减区间为:
,
;
② 当时,
,由
得单调递增区间为:
;
由得单调递减区间为:
,
;
(3) 由(2)知:当时,
,
在
上单调递增,在
上单调递减,
,
在
上的值域为
易知在
上是增函数
在
上的值域为
由于,又因为要存在
,
使得成立,所以必须且只须
, 解得:
所以:的取值范围为
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练习册系列答案
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【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
根据表中数据,问是否有
的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
附: