题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
,
,平面
平面
,
为
的中点,
,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若异面直线与
所成角为
,求
的长;
(3)在(2)的条件下,求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
【解析】
(1)若要证明平面平面
,可先证明
平面
,由面面垂直的性质可得,即证明
即可,进而求证;
(2)以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,设
,分别求得
与
,进而利用数量积求解即可;
(3)由(2),分别求得平面与平面
的法向量,进而利用数量积求解.
(1)∵,
,
为
的中点,
∴四边形为平行四边形,∴
,
∵,∴
,∴
,
又∵平面底面
,且平面
平面
,
∴平面
,
∵平面
,∴平面
平面
.
(2)∵,
为
的中点,∴
,
∵平面底面
,且平面
平面
,∴
底面
,
以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
设,则
,
,
,
,
,
∴,
,设异面直线
与
所成角为
,
∵异面直线与
所成角为
,
∴,解得
,
∴在中,
.
(3)由(2)平面的法向量
,
,
,
,
设平面的法向量
,
则,取
,得
,
设平面与平面
所成锐二面角为
,则
,
∴平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】端午节(每年农历五月初五),是中国传统节日,有吃粽子的习俗.某超市在端午节这一天,每售出kg粽子获利润
元,未售出的粽子每
kg亏损
元.根据历史资料,得到销售情况与市场需求量的频率分布表,如下表所示.该超市为今年的端午节预购进了
kg粽子.以
(单位:kg,
)表示今年的市场需求量,
(单位:元)表示今年的利润.
市场需求量(kg) | |||||
频率 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.25 | 0.15 |
(1)将表示为
的函数;
(2)根据频率分布表估计今年利润不少于
元的概率.