Question

【题目】如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1A2B2B1，A1A2B1B2，A1A2＝2B1B2，A1B1＝2，圆台O1O2的侧面积为6π.若点C，D分别为圆O1，O2上的动点且点C，D在平面A1A2B2B1的同侧.

（1）求证：A1C⊥A2C；

（2）若∠B1B2C＝60°，则当三棱锥C﹣A1DA2的体积取最大值时，求A1D与平面CA1A2所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）设圆O1，O2的半径分别为r，2r，由题意可得r＝1，则，，，连接O1O2，O1C，O2C，可得O1O2⊥O1C，由此可证结论；

（2）由题意可求得点D为弧A1A2的中点时，V有最大值，连接DO2，以点O2为坐标原点，以O2D，O2A2，O2O1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量即可求得线面角．

（1）证：设圆O1，O2的半径分别为r，2r，

∵圆台的侧面积为6π，

∴，解得r＝1，

∴在等腰梯形A1A2B2B1中，，

连接O1O2，O1C，O2C，在圆台O1O2中，O1O2⊥平面B1CB2，O1C在平面B1CB2内，

∴O1O2⊥O1C，

又O1C＝1，故在△O1CO2中，CO2＝2，

在△CA1A2中，，故∠A1CA2＝90°，即A1C⊥A2C；

（2）解：由题意可知，三棱锥C﹣A1DA2的体积为，

又在Rt△A1DA2中，，当且仅当时取等号，

即点D为弧A1A2的中点时，V有最大值，

连接DO2，∵O1O2⊥平面A1DA2，DO2⊥O2A2，

∴以点O2为坐标原点，以O2D，O2A2，O2O1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1（0，﹣2，0），A2（0，2，0），D（2，0，0），由∠B1B2C＝60°，可知，

设平面CA1A2的一个法向量为，则，可取，

∴，

∴A1D与平面CA1A2所成角的正弦值为.