题目内容
【题目】已知对数函数过定点
(其中
),函数
(其中
为
的导函数,
,
为常数)
(1)讨论的单调性;
(2)若对有
恒成立,且
在
(
)处的导数相等,求证:
.
【答案】(1)当时,
在
单调递减;当
时
在
单调递增,在
单调递减(2)证明见解析
【解析】
(1)求出的解析式,得到
,利用分类讨论法研究
的单调性;
(2)根据(1)可知,得到
和
的解析式,利用
求得
,结合基本不等式得到
,令
,则
可换元为
,最后利用导数求出
的最小值即可得证.
(1)令(
且
),将定点
代入解得
,
所以,
,
所以,
(
),
当时,
在
时恒成立,即
在
单调递减;
当时
,
,
即在
单调递增,在
单调递减;
综上所述:当时,
在
单调递减;
当时
在
单调递增,在
单调递减.
(2)因为,而
有
恒成立,
所以,
由(1)知必有,
∴,
,
,
设,即
,∴
,
,
∴,
令,
,
∴(
),
∴在
上单调递增,
∴,即
.

【题目】诚信是立身之本,道德之基,我校学生会创设了“诚信水站”,既便于学生用水,又推进诚信教育,并用“”表示每周“水站诚信度”,为了便于数据分析,以四周为一周期,如表为该水站连续十二周(共三个周期)的诚信数据统计:
第一周 | 第二周 | 第三周 | 第四周 | |
第一周期 | ||||
第二周期 | ||||
第三周期 |
(Ⅰ)计算表中十二周“水站诚信度”的平均数;
(Ⅱ)若定义水站诚信度高于的为“高诚信度”,
以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研,计算恰有两周是“高诚信度”的概率;
(Ⅲ)已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动,根据已有数据,说明两次主题教育活动的宣传效果,并根据已有数据陈述理由.
【题目】某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据(单位:)和使用了节水龙头30天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
(一)未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表
日用水量 | |||||
频数 | 2 | 3 | 8 | 12 | 5 |
(二)使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表
日用水量 | |||||
频数 | 2 | 5 | 11 | 6 | 6 |
(1)估计该家庭使用了节水龙头后,日用水量小于的概率;
(2)估计该家庭使用节水龙头后,平均每天能节省多少水?(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)