题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点,点
在
轴上,过点
的直线交椭圆
交于
,
两点.
①若直线的斜率为
,且
,求点
的坐标;
②设直线,
,
的斜率分别为
,
,
,是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出
点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)①
;②存在,
.
【解析】
(1)利用椭圆的离心率为、过点
以及
建立方程组,求出
和
的值即可;
(2)①设出直线的方程,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理和
,得出
的值即可;②假设
成立,设
,分别讨论直线
的斜率是否为
的情形,联立直线与圆锥曲线的方程以及利用
,解出
的值,求出
点坐标即可.
(1)椭圆
的离心率为
,且过点
.
,解之得:
,
椭圆
的方程为:
;
(2)设,
,
①设直线的方程为:
,
由,得:
,
,故
,
,
,
,解得
.
;
②,设
,
(ⅰ)当直线的斜率为
时,
,
,
由,可得
,解得
,即
;
(ⅱ)当直线的斜率不为
时,设
,
,
设直线的方程为
,
由,得:
,
.
由,可得
,
,
,
,
,
当
时,上式恒成立.
综上,存在定点,使得
恒成立.
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