Question

【题目】已知椭圆的离心率为，短轴长为4.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）设直线l过点（2,0）且与椭圆C相交于不同的两点A、B，直线与x轴交于点D,E是直线上异于D的任意一点，当时，直线BE是否恒过x轴上的定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）直线BE恒过x轴上的定点，详见解析

【解析】

（1）利用离心率，短轴长4，列关于的方程组，解方程即可求得椭圆C的标准方程。

（2）当斜率不存在时，可得直线BE过定点，当斜率存在时，，设出的坐标，求出直线BE的方程，求出与x轴的交点表达式，即证,

根据的特点，将直线l和椭圆联立，得到，代入，可得式子成立，即证明直线BE恒过x轴上的定点。

解：（1）由题意得。解得，

所以椭圆C的标准方程为

（2）直线BE恒过x轴上的定点

证明如下：

因为.所以，

因为直线l过点

①当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为，

不妨设则

此时，直线BE的方程为，

所以直线BE过定点；

②直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为，，所以.

直线，令，得

即，又

所以

即证

即证

联立,消x得，

因为点在C内，所以直线l与C恒有两个交点，

由韦达定理得，

代入（*）中得

所以直线BE过定点，

综上所述，直线BE恒过x轴上的定点.