题目内容
【题目】如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为
,其左焦点到点P(2,1)的距离为
.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
.
【解析】(Ⅰ)由题:; (1)
左焦点(﹣c,0)到点P(2,1)的距离为:. (2)
由(1) (2)可解得:.∴所求椭圆C的方程为:
.
(Ⅱ)易得直线OP的方程:y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=
x0.
∵A,B在椭圆上,
∴.
设直线AB的方程为l:y=﹣(m≠0),
代入椭圆:.
显然.
∴﹣<m<
且m≠0.
由上又有:=m,
=
.
∴|AB|=|
|=
=
.
∵点P(2,1)到直线l的距离为:.
∴SABP=
d|AB|=
,其中﹣
<m<
且m≠0.
利用导数解:令,
则
当m=时,有(S
ABP)max.
此时直线l的方程
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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