题目内容
(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
如图,四棱锥S-ABCD中,SD
底面ABCD,AB//DC,AD
DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC
平面SBC .
(Ⅰ)证明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .
如图,四棱锥S-ABCD中,SD



(Ⅰ)证明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .

(Ⅰ)证明见解析
(Ⅱ)120°
(Ⅱ)120°
本题主要考查直线与平面垂直的判断与性质定理、平面与平面垂直的性质,二面角的求解,以及考查逻辑思维能力、空间想象力与简单运算能力、同时考查转化与化归的思想.
解法一:

(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G,连接BG,
由此知
即
为直角三角形,故
.
又
,
所以,
.
作
,
,
故
平面EDC,
内的两条相交直线
都垂直.


,
,
所以,
.
(Ⅱ) 由
知
.
故
为等腰三角形.
取
中点F,连接
,则
.
连接
,则
.
所以,
是二面角
的平面角.
连接AG,AG=
,
,
,
所以,二面角
的大小为120°.
解法二:
以D为坐标原点,射线
为
轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系
,

设
则
,
,
.
(Ⅰ)
, 
设平面
的法向量为
,
由
,
故
令
,
又设
,则
,

设平面
的法向量
,
由
,得
,
故
.
令
,则
.
由平面
得
.
故
.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
,取
中点F,则
,
,
故
,由此得
.
又
,故
由此得
,
向量
与
的夹角等于二面角
的平面角.
于是
,
所以,二面角
的大小为120°.
点评:对立体几何的考查是一直解答题中比较常规、变化不大的题。但今年(Ⅰ)的问题的设置由证明空间位置关系变为证明西安段之间的相等关系,在力求创新考查,但实际还是考查空间直线、平面之间的位置的关系的证明及应用.
解法一:

(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G,连接BG,
由此知



又

所以,

作


故







所以,

(Ⅱ) 由


故

取



连接


所以,


连接AG,AG=



所以,二面角

解法二:
以D为坐标原点,射线




设




(Ⅰ)


设平面


由

故

令

又设




设平面


由



故

令


由平面


故

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知





故


又



向量



于是

所以,二面角

点评:对立体几何的考查是一直解答题中比较常规、变化不大的题。但今年(Ⅰ)的问题的设置由证明空间位置关系变为证明西安段之间的相等关系,在力求创新考查,但实际还是考查空间直线、平面之间的位置的关系的证明及应用.

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