Question

14．若函数y=$\frac{1}{2}$x²-2x+4的定义域和值域都是[b，2b]，求b的值．

Answer 1

分析 根据函数y=$\frac{1}{2}$x²-2x+4的图象对称轴为x=2，最小值为2，可得y|_x=b=b且y|_x=2b=2b，即b，2b为方程$\frac{1}{2}$x²-2x+4=x的两根，进而得到答案．

解答 解：函数y=$\frac{1}{2}$x²-2x+4的图象是开口朝上，且以直线x=2为对称轴的抛物线，
当x=2时，函数取最小值2，
若函数y=$\frac{1}{2}$x²-2x+4的定义域和值域都是[b，2b]，
则b≥2，
此时函数y=$\frac{1}{2}$x²-2x+4在区间[b，2b]为增函数，
故y|_x=b=b且y|_x=2b=2b，
即b，2b为方程$\frac{1}{2}$x²-2x+4=x的两根，
解$\frac{1}{2}$x²-2x+4=x得：x=2，或x=4，
故b=2．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．