Question

4．定义函数f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[-1.3]=-2，当x∈[0，n），（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为a_n，则（ i）a₃=4，（ ii）式子$\frac{{{a_n}+90}}{n}$的最小值为13．

Answer 1

分析 先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，进而得到$\frac{{a}_{n}+90}{n}$，用基本不等式求解．

解答 解：根据题意：[x]=$\left\{\begin{array}{l}0，x∈[0，1）\\ 1，x∈[1，2）\\ 2，x∈[2，3）\\…\\ n-1，x∈[n-1，n）\end{array}\right.$，
∴x[x]=$\left\{\begin{array}{l}0，x∈[0，1）\\ x，x∈[1，2）\\ 2x，x∈[2，3）\\…\\（n-1）x，x∈[n-1，n）\end{array}\right.$，
∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n-1
∴a_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1，
∴a₃=4，
∴$\frac{{a}_{n}+90}{n}$=$\frac{1}{2}$（n+$\frac{180}{n}$-1），所以当n=13或14时，最小值为13．
故答案为：4，13．

点评 本题主要通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域．