题目内容
【题目】已知椭圆
的左焦点为
，短轴的两个端点分别为A，B，且满足：
，且椭圆经过点
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设过点M
的动直线
(与X轴不重合)与椭圆C相交于P，Q两点，在X轴上是否存在一定点T，无论直线如何转动，点T始终在以PQ为直径的圆上？若有，求点T的坐标，若无，说明理由。
【答案】（1）
；（2）（2，0）
【解析】
（1）由
可知，
，根据椭圆过点
，即可求出
，由此得到椭圆的标准方程；
（2）分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，联立直线与椭圆方程，解出
、
两点坐标，利用向量垂直的条件可得点
，当斜率存在时，设出直线的点斜式，与椭圆联立方程，得到关于
的一元二次方程，写出根与系数的关系，代入
中进行化简，即可得到答案。
(1)由可知，，又椭圆经过点，则
，由于在椭圆中
，所以
， 解得
=2，所求椭圆方程为
(2) 设
，
，则
，
①当直线
斜率不存在时，则直线的方程为：
，
联立方程
，解得:
或
，故点
，
；
则
，
由于点始终在以
为直径的圆上，则
，解得：
或
，故点
或
；
②当直线斜率
存在时，设直线的方程为：
，代入椭圆方程中消去
得
,
由于点始终在以为直径的圆上，
，
解得： ，故点为
综上所述;当时满足条件。所以定点为。
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