题目内容
【题目】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求AM与平面A1MD所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
要证线面平行，先证线线平行
建系，利用法向量求解。
（1）连接ME，BC
∵M，E分别为B1B，BC的中点
∴
又∵
∴A1DCB1是平行四边形
∴
∴
∴NDEM是平行四边形
∴NM∥DE
又NM
平面C1DE
∴NM∥平面C1DE
(2)由题意得DE与BC垂直，所以DE与AD垂直：以D为原点，DA，DE，DD1三边分别为x，y，z轴，建立空间坐标系O-xyz
则A（2，0，0），A1（2，0，4），M（1，
，2）
设平面A1MD的法向量为
则
∴
解得
又
∴
∴AM与平面A1MD所成角的正弦值.
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