Question

若函数f（x）满足：对定义域内任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，则称函数f（x）为H函数．已知f（x）=x²+cx，且f（x）为偶函数．
（1）求c的值；
（2）求证：f（x）为H函数；
（3）试举出一个不为H函数的函数g（x），并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（-x）=f（x）对任意的x都成立，从而可求c及f（x）
（2）要证f（x）为H函数，只要证明

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，即可
（3）例：g（x）=log₂x（说明：底数大于1的对数函数或-x²都可以即上凸函数）

解答：解：（1）因为f（x）=x²+cx，为偶函数，
∴f（-x）=f（x）对任意的x都成立
即x²-cx=x²+cx对任意x都成立
即cx=0对任意的x都成立
所以c=0，f（x）=x²
（2）∵.

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

x12+x22

2

-(

x1+x2

2

)2…（4分）
=

1

4

(x1-x2)2＞0，…（5分）
∴

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，即f（x）为H函数．…（6分）
（3）例：g（x）=log₂x．…（8分）
（说明：底数大于1的对数函数或-x²都可以）．
理由：当x₁=1，x₂=2时，

g(x1)+g(x2)

2

=

1

2

(log21+log22)=

1

2

，…（10分）
g(

x1+x2

2

)=log2

1+2

2

=log2

3

2

＞log2

2

=

1

2

，…（12分）
显然不满足

g(x1)+g(x2)

2

＞g(

x1+x2

2

)，
所以该函数g（x）=log₂x不为H函数．…（14分）

点评：本题主要考查偶函数的定义的应用，及比较法在比较大小中的应用，及利用新定义解决试题的能力