Question

已知函数f(x)=3sinxcosx-

3

2

cos2x，(x∈R)
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数f（x）满足f（x+m）=f（m-x），试求实数m的最小正值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为

3

sin(2x-

π

6

)，可得它的周期T．
（2）由条件可得函数f（x）图象的对称轴是x=m，故有 sin(2m-

π

6

)=±1，求得 m=

kπ

2

+

2π

3

（k∈Z），可得实数m的最小正值．

解答：解：（1）∵f(x)=3sinxcosx-

3

2

cos2x=

3

[

3

2

sin2x-

1

2

cos2x]=

3

sin(2x-

π

6

)，
∴T=

2π

2

=π．
（2）函数f（x）满足f（x+m）=f（m-x），即函数f（x）图象的对称轴是x=m，
即当x=m时f（x）取最大（小）值时，故有 sin(2m-

π

6

)=±1．
所以，2m-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即 m=

kπ

2

+

2π

3

（k∈Z），
∴所求实数m的最小正值是

2π

3

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的图象的对称性，三角函数的周期性和求法，
属于中档题