Question

函数y=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)在同一个周期内，当x=

π

4

时y取最大值1，当x=

7π

12

时，y取最小值-1．
（1）求函数的解析式y=f（x）．
（2）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？
（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析：（1）通过同一个周期内，当x=

π

4

时y取最大值1，当x=

7π

12

时，y取最小值-1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．
（2）函数y=sinx的图象经过左右平移，然后是横坐标变伸缩变换，纵坐标不变，可得到y=f（x）的图象，确定函数解析式．（3）确定函数在[0，2π]内的周期的个数，利用f（x）=a（0＜a＜1）与函数的对称轴的关系，求出所有实数根之和．

解答：解：（1）∵

2π

ω

=2×(

7π

12

-

π

4

)，
∴ω=3，
又因sin(

3

4

π+φ)=1，
∴

3π

4

+φ=2kπ+

π

2

，又|φ|＜

π

2

，得φ=-

π

4

∴函数f(x)=sin(3x-

π

4

)；

（2）y=sinx的图象向右平移

π

4

个单位得y=sin(x-

π

4

)的图象，
再由y=sin(x-

π

4

)图象上所有点的横坐标变为原来的

1

3

．纵坐标不变，得到y=sin(3x-

π

4

)的图象，
（3）∵f(x)=sin(3x-

π

4

)的周期为

2

3

π，
∴y=sin(3x-

π

4

)在[0，2π]内恰有3个周期，
∴sin(3x-

π

4

)=a(0＜a＜1)在[0，2π]内有6个实根且x1+x2=

π

2

同理，x3+x4=

11

6

π，x5+x6=

19

6

π，
故所有实数之和为

π

2

+

11π

6

+

19π

6

=

11π

2

．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象，考查数形结合的思想，考查计算能力，是中档题．