题目内容
设,
且
,其中当
为偶数时,
;当
为奇数时,
.
(1)证明:当,
时,
;
(2)记,求
的值.
(1)证明见解析;(2)
解析试题分析:(1)从题设可以看出本题要分类,按的奇偶性来分类,如当
为奇数时,
都是偶数,
,
,
,
通过计算,应用公式
可得结论,当然
为偶数时也同样证明;(2)待求式子比较难,
,
把的系数变为1,有
由公式,上式可变为
,而由(1)可得数列
是周期为6的周期数列,故
,从而计算得
.
试题解析:(1)当为奇数时,
为偶数,
为偶数,
∵,
,
,
∴
=.
∴当为奇数时,
成立. 5分
同理可证,当为偶数时,
也成立. 6分
(2)由,得
=
=
=. 9分
又由,得
,所以
,
. 10分
考点:组合数的性质,周期数列

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