题目内容

【题目】已知抛物线Cx22pyp0),直线lCAB两点,且AB两点与原点不重合,点M12)为线段AB的中点.

1)若直线l的斜率为1,求抛物线C的方程;

2)分别过AB两点作抛物线C的切线,若两条切线交于点S,证明点S在一条定直线上.

【答案】(1)x22y(2)证明见解析

【解析】

1)设直线的方程为,代入抛物线方程,消去,设,运用韦达定理,以及中点坐标公式,可得,即可得到所求抛物线方程;

2)求得的导数,可得抛物线在处的切线的斜率,由点斜式方程和点满足抛物线方程,可得在处的切线方程,联立两切线方程,相加,结合中点坐标公式,即可得到所求点所在的定直线方程.

解:(1)设直线的方程为,代入抛物线

可得

,则

为线段的中点,可得,即

则抛物线的方程为

2)证明:设,点为线段的中点,

可得

的导数为,可得抛物线在处的切线斜率为,切线方程为

,可得,①

同理可得,②

②可得

即为,即

可得交点在一条定直线上.

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