题目内容
【题目】已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线l交C于A,B两点,且A,B两点与原点不重合,点M(1,2)为线段AB的中点.
(1)若直线l的斜率为1,求抛物线C的方程;
(2)分别过A,B两点作抛物线C的切线,若两条切线交于点S,证明点S在一条定直线上.
【答案】(1)x2=2y(2)证明见解析
【解析】
(1)设直线的方程为,代入抛物线方程,消去,设,,,,运用韦达定理,以及中点坐标公式,可得,即可得到所求抛物线方程;
(2)求得的导数,可得抛物线在,处的切线的斜率,由点斜式方程和点,满足抛物线方程,可得在,处的切线方程,联立两切线方程,相加,结合中点坐标公式,即可得到所求点所在的定直线方程.
解:(1)设直线的方程为,代入抛物线,
可得,
设,,则,
点为线段的中点,可得,即,
则抛物线的方程为;
(2)证明:设,,点为线段的中点,
可得,,
由的导数为,可得抛物线在处的切线斜率为,切线方程为,
由,可得,①
同理可得,②
①②可得,
即为,即.
可得交点在一条定直线上.
练习册系列答案
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成绩/分 | 班内排名 | |
甲 | 95 | 9 |
乙 | 94 | 11 |
丙 | 93 | 14 |
A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6