题目内容
【题目】已知动点P(x,y)满足方程xy=1(x>0).
(Ⅰ)求动点P到直线l:x+2y﹣ =0距离的最小值;
(Ⅱ)设定点A(a,a),若点P,A之间的最短距离为2 ,求满足条件的实数a的取值.
【答案】解:(Ⅰ)由点到直线的距离公式可得: ,当且仅当
时距离取得最小值
.
(Ⅱ)设点 (x>0),则
,
设 (t≥2),则
,
,设f(t)=(t﹣a)2+a2﹣2(t≥2)
对称轴为t=a
分两种情况:
(i)a≤2时,f(t)在区间[2,+∞)上是单调增函数,故t=2时,f(t)取最小值
∴ ,∴a2﹣2a﹣3=0,∴a=﹣1(a=3舍).
(ii)a>2时,∵f(t)在区间[2,a]上是单调减,在区间[a,+∞)上是单调增,
∴t=a时,f(t)取最小值,
∴ ,∴
(
(舍),
综上所述,a=﹣1或 .
【解析】(Ⅰ)由点到直线的距离公式与基本不等式的性质即可得出.(Ⅱ)设点 (x>0),则
,设
(t≥2),则
,设f(t)=(t﹣a)2+a2﹣2(t≥2),对a与2的大小关系分类讨论即可得出.
【考点精析】关于本题考查的基本不等式和点到直线的距离公式,需要了解基本不等式:,(当且仅当
时取到等号);变形公式:
;点
到直线
的距离为:
才能得出正确答案.
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