Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB= ，EF=1，BC= ，且M是BD的中点．．
（1）求证：EM∥平面ADF；
（2）求直线DF和平面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角D﹣AF﹣B的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AD的中点N，连接MN，NF．

在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，

∴MN∥AB，MN= AB．

又∵EF∥AB，EF= AB，∴MN∥EF且MN=EF，

∴四边形MNFE为平行四边形，可得EM∥FN．

又∵FN平面ADF，EM平面ADF，

∴EM∥平面ADF；

（2）解：取AB中点G，连接FG，DG，则FG∥EB，FG=

∵EB⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，

∴∠FDG为直线DF和平面ABCD所成角

∵BC= ，AB=2，∠ABD=90°，∴BD=3

∵BG=1，∴DG=

∴tan∠FDG= = =

（3）解：因为EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz．

由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），F（0，1， ）

∴ =（3，﹣2，0）， =（0，﹣1， ）．

设平面ADF的一个法向量是 =（x，y，z）．

由 ，得 ，令y=3，则 =（2，3， ）

因为EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD．

又因为AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．

∴ =（3，0，0）是平面EBAF的一个法向量．

∴cos＜ ＞= =

∵二面角D﹣AF﹣B为锐角，

∴二面角D﹣AF﹣B的大小为60°

【解析】（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；（2）取AB中点G，连接FG，DG，可得∠FDG为直线DF和平面ABCD所成角，从而可求直线DF和平面ABCD所成角的正切值；（3）求出平面ADF、平面EBAF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D﹣AF﹣B的大小．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．