题目内容
【题目】已知两动圆和
(
),把它们的公共点的轨迹记为曲线
,若曲线
与
轴的正半轴的交点为
,且曲线
上的相异两点
满足:
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)证明直线恒经过一定点,并求此定点的坐标;
(3)求面积
的最大值.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
.
【解析】
(1)设两动圆的公共点为,由椭圆定义得出曲线
是椭圆,并得出
、
、
的值,即可得出曲线
的方程;
(2)求出点,设点
,
,对直线
的斜率是否存在分两种情况讨论,在斜率存在时,设直线
的方程为
,并将该直线方程与椭圆
的方程联立,列出韦达定理,结合条件
并代入韦达定理求出
的值,可得出直线
所过点的坐标,在直线
的斜率不存在时,可得出直线
的方程为
,结合这两种情况得出直线
所过定点坐标;
(3)利用韦达定理求出面积
关于
的表达式,换元
,然后利用基本不等式求出
的最大值.
(1)设两动圆的公共点为,则有:
.
由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆,
,
,所以曲线
的方程是:
;
(2)由题意可知:,设
,
,
当的斜率存在时,设直线
,联立方程组:
,把②代入①有:
,
③,
④,
因为,所以有
,
,把③④代入整理:
,(有公因式
)继续化简得:
,
或
(舍),
当的斜率不存在时,易知满足条件
的直线
为:
过定点,综上,直线
恒过定点
;
(3)面积
,
由第(2)小题的③④代入,整理得:,
因在椭圆内部,所以
,可设
,
,
,
(
时取到最大值).
所以面积
的最大值为
.
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