Question

10．cos²36°+cos²72°=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 解法一：利用cos3α=4cos³α-3cosα，可得sin18°，进而可得cos36°+cos72°=1-2sin²18°+sin18°，即可得出．
解法二：可先降幂，再利用和差化积公式转化，三角部分的分子与分母同乘以2cos18°，利用二倍角的正弦即可．

解答 解法一：∵cos3α=cos（2α+α）=cos2αcosα-sin2αsinα=（2cos²α-1）cosα-2sin²αcosα=2cos³α-cosα-2（1-cos²α）cosα=4cos³α-3cosα，
又cos54°=sin36°
∴4cos³18°-3cos18°=2sin18°cos18°，
∴4cos²18°-3=2sin18°，
化为4sin²18°+2sin18°-1=0，
解得sin18°=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．
∴cos²36°+cos²72°
=（1-2sin²18°）²+sin²18°
=[1-2×（$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$）²]²+（$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$）²
=$\frac{3}{4}$．
解法二：cos²36°+cos²72°，
=$\frac{1}{2}$（1+cos72°）+$\frac{1}{2}$（1+cos144°），
=1+$\frac{1}{2}$（cos72°-cos36°），
=1+$\frac{1}{2}$×（-2）sin54°sin18°，
=1-$\frac{2sin18°cos18°cos36°}{2cos18°}$，
=1-$\frac{sin36°cos36°}{2sin72°}$，
=1-$\frac{\frac{1}{2}sin72°}{2sin72°}$，
=1-$\frac{1}{4}$，
=$\frac{3}{4}$．
故答案是：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．