Question

8．函数y=sinα（sinα-cosα）（α∈[-$\frac{π}{2}$，0]）的最大值为$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用倍角公式、两角和差公式可得：函数y=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（2α+\frac{π}{4}）$+$\frac{1}{2}$，由于α∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得$sin（2α+\frac{π}{4}）$∈$[-1，\frac{\sqrt{2}}{2}]$，因此$sin（2α+\frac{π}{4}）$取得最小值-1，y取得最大值．

解答 解：函数y=sinα（sinα-cosα）=$si{n}^{2}α-\frac{1}{2}sin2α$=$\frac{1-cos2α}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2α=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（2α+\frac{π}{4}）$+$\frac{1}{2}$，
∵α∈[-$\frac{π}{2}$，0]，∴$（2α+\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}]$，∴$sin（2α+\frac{π}{4}）$∈$[-1，\frac{\sqrt{2}}{2}]$，
∴当2$α+\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$，即α=$-\frac{3π}{8}$时，$sin（2α+\frac{π}{4}）$取得最小值-1，y取得最大值$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了倍角公式、两角和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．