题目内容
已知函数f(x)＝a－
.
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
（1）见解析 （2）(－∞，3]
解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，
f(x)＝a－
，
设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0，
f(x2)－f(x1)＝(a－
)－(a－
)＝－＝
>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由题意：a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝2x＋，
则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．
任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，
h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)(2－
)．
∵1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，
∴2－>0，∴h(x1)<h(x2)，
∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故a≤h(1)即a≤3，
∴a的取值范围是(－∞，3]．
f(x)＝a－
，设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0，
f(x2)－f(x1)＝(a－
)－(a－)＝－＝>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由题意：a－
<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋
，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．
任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，
h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)(2－
)．∵1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，
∴2－
>0，∴h(x1)<h(x2)，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故a≤h(1)即a≤3，
∴a的取值范围是(－∞，3]．
练习册系列答案
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上的奇函数
，当
时，
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，则f(x)的单调递减区间是( )
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