Question

【题目】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得曲线．

（1）求出的参数方程;

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设是曲线上的一个动点，求点到直线距离的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（为参数）；（2）.

【解析】

（1）写出圆的参数方程，利用伸缩变换可得出曲线的参数方程；

（2）写出曲线的普通方程，先判断出直线与曲线相离，设点，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式以及正弦函数的有界性可求得点到直线距离的最小值.

（1）圆的参数方程为（为参数），

将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线，

所以曲线的参数方程是（为参数）；

（2）因为C的普通方程是．

与直线联立解得．

因为，方程无解，所以直线与曲线相离.

则点到直线距离为，

，所以，当时，取最小值，即.