题目内容
【题目】已知函数
(1)若函数在x=1时取得极值,求实数a的值;
(2)当0<a<1时,求零点的个数.
【答案】(1)1;(2)两个
【解析】
(1) 函数在x=1时取得极值,得
,解得
,
时,
,求单调区间,验证
在x=1时取得极值 (2)
,由
,得
减区间为
,增区间为
,其极小值为
,
,函数
在
上有且仅有一个零点,根据
,
,
令,得
,又因为
,所以
,所以当
时,
,根据零点存在定理,函数
在
上有且仅有一个零点.
解:(1)定义域为
,
,
由已知,得,解得
,
当时,
,
所以,
所以减区间为
,增区间为
,
所以函数在
时取得极小值,其极小值为
,符合题意,所以
(2)令,由
,得
所以,
,
所以减区间为
,增区间为
,
所以函数在
时取得极小值,其极小值为
,
因为,所以
,
,
所以,所以
,
因为,
根据零点存在定理,函数在
上有且仅有一个零点,
因为,
,
令,得
,又因为
,所以
,
所以当时,
,
根据零点存在定理,函数在
上有且仅有一个零点,
所以,当时,
有两个零点.
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