Question

【题目】设是正整数，集合是数集的一个子集，且中任意两个数的差不等于4或7.若的元素个数的最大值记为（如，），试求.

Answer 1

【答案】

【解析】

易知1、4、6、7、9这五个数中的任意两个数的差都不是4或7，各加上11得到12、15、17、18、20，显然也是这样的数，且各与前五个数中的任意一个数的差也不是4或7.由此类推知，对于每个确定的正整数，每连续11个数中可取五个数，余下的个数中取个数，一起组成集合（表示不超过实数的最大整数）.

下面证明：中不可能包含更多的数.

倘若不然，则上述中前各11数组中至少有一组可以从中取六个数，使得任意两个数之差都不是4或7.

不妨考虑1，2，，11这组数，把它们分成五个小组：

，，，，，其中，至少要求有一组要取出两个数.显然，前四组中每组的两个数不能同取，最多一组取一个数，因此，只能在第五组中取4、7.

于是，中只能取1，中只能取9，中只能取6.

这样，中3、10这两个数都不能取，从而知不可能取得第六个数.故

.

当时，；

当时，如，可考虑余下1，2，…，8这八个数，把它们分成四个组：

，，，，每组取一个共4个，即；

当时，如，可考虑余下1，2，…，9这九个数，把它们分成五个组：

，，，，，可取1、3、4、6、9这五个数，.

因为，所以，

.