题目内容
【题目】如图，四边形
为正方形，
平面，
，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析.（2）
【解析】
以
为坐标原点，线段
的长为单位长，射线为
轴的正半轴建立空间直角坐标系
.
（1）求出相应点的坐标，根据线面垂直的判断定理、面面垂直的判定定理，结合空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式，结合平面法向量的求法进行求解即可.
如图，
以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系.
（1）证明：依题意有
，
，
，
则
，
，
.
所以
，
.
即
，
.
故
平面
.
又
平面
，
所以平面
平面.
（2）依题意有
，
，
.
设
是平面
的法向量，则
，即
.
因此可取
.
设
是平面
的法向量，则
，可取
，所以
.
故二面角
的余弦值为.
【题目】某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.
（1）求
的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列
列联表，并判断是否有
的把握认为消费金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额
与年龄
进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程
.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）
列联表
男性 | 女性 | 合计 | |
消费金额 | |||
消费金额 | |||
合计 |
临界值表：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，其中
【题目】为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对300名学生做了问卷调查，列联表如下：
参加文体活动 | 不参加文体活动 | 合计 | |
学习积极性高 | 180 | ||
学习积极性不高 | 60 | ||
合计 | 300 |
已知在全部300人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为
.
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有
的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；
（3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率.
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中
.
【题目】某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：
周一 | 无雨 | 无雨 | 有雨 | 有雨 |
周二 | 无雨 | 有雨 | 无雨 | 有雨 |
收益 |
|
|
|
|
若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为
万元；有雨时，收益为
万元.额外聘请工人的成本为
万元.
已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为万元的概率为
.
（Ⅰ）若不额外聘请工人，写出基地收益
的分布列及基地的预期收益；
（Ⅱ）该基地是否应该外聘工人，请说明理由.
