题目内容

设F1(-1，0)，F2(1，0)，动点M满足|MF1|+|MF2|=2
2
．
（1）求M的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=
7
7
(x-1)与曲线C交于A、B两点，求
F1A
•
F1B
的值．
（1）设动点M（x，y），
∵F1（-1，0），F2（1，0），∴|MF1|+|MF2|=2
2
＞2=|F1F2|，
则M的轨迹为以F1，F2为焦点，以2
2
为长轴的椭圆，
则a=
2
，c=1，b2=a2-c2=1．
方程为：
x2
2
+y2=1；
（2）联立
y=
7
7
(x-1)
x2
2
+y2=1
，得9x2-4x-12=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
4
9
，x1x2=-
12
9
．
F1A
=(x1+1，y1)，
F1B
=(x2+1，y2)，
∴
F1A
•
F1B
=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）
=（x1+1）（x2+1）+y1y2=
8
7
x1x2+
6
7
(x1+x2)+
8
7

=
8
7
×(-
12
9
)+
6
7
×
4
9
+
8
7
=0．
练习册系列答案
相关题目
如图，抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点为F，椭圆C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，C1与C2在第一象限的交点为P（
3
，
1
2
）
（1）求抛物线C1及椭圆C2的方程；
（2）已知直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C2交于不同两点A、B，点M满足
AM
+
BM
=
0
，直线FM的斜率为k1，试证明k•k1＞
-1
4
．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的顶点在原点，其焦点F在x轴的正半轴上，过点F作x轴的垂线与W交于A、B两点，且点A在第一象限，|AB|=8，过点B作直线BC与x轴交于点T（t，0）（t＞2），与抛物线交于点C．
（1）求抛物线W的标准方程；
（2）若t=6，曲线G：x2+y2-2ax-4y+a2=0与直线BC有公共点，求实数a的取值范围；
（3）若|OB|2+|OC|2≤|BC|2，求△ABC的面积的最大值．
在椭圆
x2
16
+
y2
4
=1内，通过点M（1，1），且被这点平分的弦所在的直线方程为（　　）
A．x+4y-5=0B．x-4y-5=0C．4x+y-5=0D．4x-y-5=0
在平面直角坐标系xOy中，动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（
1
2
，0）与到y轴的距离之差为
1
2
．记动点p的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=-
1
2
于点D，求证：直线DB平行于x轴．
已知直线y=k（x+2）与双曲线
x2
m
-
y2
8
=1，有如下信息：联立方程组：
y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0，分类讨论：
（1）当A=0时，该方程恒有一解；
（2）当A≠0时，△=B2-4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，
3
]		B．[
3
，+∞）		C．（1，2]D．[2，+∞）
已知椭圆C：3x2+y2=12，直线x-y-2=0交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标及长轴长；
（Ⅱ）求以线段AB为直径的圆的方程．
在直角坐标系中，O为坐标原点，如果一个椭圆经过点P（3，
2
），且以点F（2，0）为它的一个焦点．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）在（1）中求过点F（2，0）的弦AB的中点M的轨迹方程．
k为何值时，直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个交点（　　）
A．-
6
3
＜k＜
6
3
B．k＞
6
3
或k＜-
6
3
C．-
6
3
≤k≤
6
3
D．k≥
6
3
或k≤-
6
3

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