题目内容
【题目】已知正项数列的前
项和为
,对任意
,点
都在函数
的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列,求数列
的前
项和
;
(3)已知数列满足
,若对任意
,存在
使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)由题意可得,由
时,
时,
,结合等比数列的定义和通项公式,可得所求;
(2)求得,运用数列的错位相减法求和,结合等比数列的求和公式,化简可得所求和;
(3)求得,可令
为数列
的前
项和,运用数列的分组求和和裂项相消求和可得
,分别求得
,
的最大值,由不等式恒成立和存在性问题解法可得
的范围.
解:(1)点都在函数
的图象上,
可得,
时,
,解得
;
时,
,
化为,可得
,对
也成立,
则;
(2),
前项和
,
,
相减可得
,
化为;
(3)由,可令
为数列
的前n项和,
可得
,
由时,
,即有
,
可得,
又时,
的最大值为
,
对任意,存在
使得
成立,
则,解得
.
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