Question

9．sinx-cos3x=0的解集是{x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，或x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z }．

Answer 1

分析 由条件利用和差化积公式可得cos（2x+$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）=0，可得cos（2x+$\frac{π}{4}$）=0，或sin（x+$\frac{π}{4}$）=0．再根据正弦函数、余弦函数的零点，求得x的值．

解答 解：sinx-cos3x=0，即sinx-sin（$\frac{π}{2}$+3x）=0，即2cos（2x+$\frac{π}{4}$）sin（-x-$\frac{π}{4}$）=0，
即 cos（2x+$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）=0，∴cos（2x+$\frac{π}{4}$）=0，或sin（x+$\frac{π}{4}$）=0．
当 cos（2x+$\frac{π}{4}$）=0，则2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
当sin（x+$\frac{π}{4}$）=0，则x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
综上可得，原方程的解为{x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，或x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z }，
故答案为：{x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，或x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z }．

点评 本题主要考查和差化积公式，正弦函数、余弦函数的零点，体现了转化的数学思想，属于中档题．