Question

4．已知奇函数f（x）=ax³+bx²+cx在R上无极值，则$\frac{a-c}{a+c}$的取值范围（-1，1]．

Answer 1

分析 利用奇函数f（x）=ax³+bx²+cx在R上无极值，可得ac＞0，利用$\frac{a-c}{a+c}$=$\frac{1-\frac{c}{a}}{1+\frac{c}{a}}$=-1+$\frac{2}{1+\frac{c}{a}}$，即可求出$\frac{a-c}{a+c}$的取值范围．

解答 解：由题意，b=0．
∴f（x）=ax³+cx，
∴f′（x）=3ax²+c，
∵函数f（x）=ax³+bx²+cx在R上无极值，
∴ac＞0，
∵$\frac{a-c}{a+c}$=$\frac{1-\frac{c}{a}}{1+\frac{c}{a}}$=-1+$\frac{2}{1+\frac{c}{a}}$，
∴-1＜$\frac{a-c}{a+c}$＜1，
$\frac{a-c}{a+c}$=1，c=0，f（x）=ax³，符合题意
∴$\frac{a-c}{a+c}$的取值范围是（-1，1]．
故答案为：（-1，1]．

点评 本题考查函数的奇偶性与极值，考查学生的计算能力，属于中档题．