题目内容

(本小题满分14分)已知函数,其中
(Ⅰ)求上的单调区间;
(Ⅱ)求为自然对数的底数)上的最大值;
(III)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点,使得是以原点为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?
(1)上的单调减区间为 :单调增区间为 
(2)上的最大值为2
(3) 对任意给定的正实数,曲线上存在两点,使得△是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上

试题分析:(Ⅰ)因为
时,
得到;解得到.所以上的单调减区间为 :单调增区间为     ………………4分
(Ⅱ)①当时,由(Ⅰ)知在上单调递减,在上单调递增,从而处取得极大值
,所以上的最大值为2.……………………6分
②当时,,当时,上单调递增,所以上的最大值为.所以当时,上的最大值为;当时,上的最大值为2.                             …………………………8分
(Ⅲ)假设曲线上存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,则只能在轴的两侧,不妨设,则,且. …9分
因为是以为直角顶点的直角三角形,所以
即:(1)             ……………………………………10分
是否存在点等价于方程(1)是否有解.
,则,代入方程(1)得:,此方程无解.…11分
,则,代入方程(1)得到:             ……12分
,则上恒成立.所以上单调递增,从而,即有的值域为(不需证明),所以当时,方程有解,即方程(1)有解.
所以,对任意给定的正实数,曲线上存在两点,使得△是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上.       …………………14分
点评:研究函数中的单调性以及最值问题,一般运用导数的思想,结合导数的符号来判定,进而确定结论,属于中档题。
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