题目内容

【题目】关于的方程恰有3个实数根,则__________

【答案】2

【解析】

令f(x)=x2+arcsin(cosx)+a,判断f(x)的奇偶性,由题意可得f(0)=0,求得a,再由反三角函数的定义和性质,化简函数,求得f(x)=0的解,即可得到所求和.

令f(x)=x2+arcsin(cosx)+a,

可得f(﹣x)=(﹣x)2+arcsin(cos(﹣x))+a=f(x),

则f(x)为偶函数,

∵f(x)=0有三个实数根,

∴f(0)=0,即0a=0,故有a

关于x的方程即x2+arcsin(cosx)0,

可设=0,

2+arcsin(cos0,

2+arcsin(cos0,

=﹣

由y=x2和yarcsin(cosx),

当x>0,且0<x<π时,yarcsin(cosx)arcsin(sin(x))

x))=x,

则﹣π<x<0时,yarcsin(cosx)=﹣x,

由y=x2和yarcsin(cosx)的图象可得:

它们有三个交点,且为(0,0),(﹣1,1),(1,1),

2+2+2=0+1+1=2.

故答案为:2.

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