题目内容
【题目】如图,已知菱形与直角梯形
所在的平面互相垂直,其中
,
,
,
,
为
的中点
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设为线段
上一点,
,若直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的长.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
【解析】
试题
(Ⅰ)要证线面平行,就要证线线平行,考虑到是
中点,因此取
中点
,可得
与
平行且相等,从而可证得
,所以可证得线面平行;
(Ⅱ)求二面角,可建立空间直角坐标系,用向量法求解,考虑到平面与平面
垂直,
是菱形,因此取
中点
,则有
,因此
,所以可作
,以
为
轴建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出二面角两个面的法向量,由法向量的夹角可得二面角;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的坐标系,利用已知得
点坐标,从而可得向量
的坐标,利用向量
与平面
的法向量夹角的正弦值可求得
,最后可得
的长度.
试题解析:
(Ⅰ)取的中点
,连接
,则
∥
∥
,且
,所以四边形
为平行四边形
所以∥
,又
平面
,
平面
,
则∥平面
.
(Ⅱ)取 中点
,连接
,则
因为平面
平面
,交线为
,则
平面
作∥
,分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,如图,
则
于是 ,设平面
的法向量
,
则 令
,则
平面的法向量
所以
又因为二面角为锐角,所以其余弦值为
.
(Ⅲ)则
,
,而平面
的法向量为
,
设直线与平面
所成角为
,
于是
于是,
.
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