Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x∈[1，a+1]，都有f（x）≤0，求实数a的取值范围；
（3）若g（x）=2x+log2（x+1），且对任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣2ax+5=（x﹣a）2+（5﹣a2）

∴f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，又a＞1，

∴f（x）在[1，a]上单调递减，

∴ ，

∴ ，

∴a=

（2）解：∵f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，

∴（﹣∞，2]（﹣∞，a]

∴a≥2

∴|1﹣a|≥|（a+1）﹣a|，f（1）≥f（a+1）

∴x∈[1，a+1]时，f（x）max=f（1），

又∵对任意的x∈[1，a+1]，都有f（x）≤0，

∴f（1）≤0，即 1﹣2a+5≤0，

∴a≥3

（3）解：∵g（x）=2x+log2（x+1）在[0，1]上递增，f（x）在[0，1]上递减，

当x∈[0，1]时，g（x）∈[1，3]，f（x）∈[6﹣2a，5]

∵对任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g（x）成立；

∴[1，3][6﹣2a，5]

∴6﹣2a≤1，

即 ．

【解析】（1）由函数f（x）的解析式，可得函数在（﹣∞，a]上单调递减，进而得到f（x）在[1，a]上单调递减，则 ，由此构造关于a的方程组，解之可得答案．（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，则（﹣∞，2]（﹣∞，a]，进而结合x∈[1，a+1]时，f（x）max=f（1），构造关于a的不等式，解不等式，可得答案．（3）由函数g（x）在[0，1]上递增，f（x）在[0，1]上递减，可分别求出两个函数的值域，若对任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g（x）成立；则两个函数的值域满足：[1，3][6﹣2a，5]，进而可得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．